【等比数列相关公式】等比数列是数学中常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。等比数列在数列、级数、几何学以及实际问题中都有广泛应用。本文将对等比数列的相关公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数（即公比），则称该数列为等比数列。
- 公比：记作 $ q $，且 $ q \neq 0 $。
- 首项：记作 $ a_1 $ 或 $ a $。
二、等比数列的基本公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 表示第n项的计算方式 | ||
| 通项公式 | $ a_n = a \cdot q^{n-1} $ | 与上式相同，$ a $ 为首项 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $） | 计算前n项的总和 | ||
| 当 $ q = 1 $ 时 | $ S_n = n \cdot a_1 $ | 所有项相等时的特殊情况 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - q} $（当 $ | q | < 1 $） | 公比绝对值小于1时的极限和 |
三、常用性质
1. 等比中项：若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $。
2. 连续三项的关系：若 $ a_{n-1}, a_n, a_{n+1} $ 成等比数列，则 $ a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} $。
3. 等比数列的单调性：
- 若 $ q > 1 $ 且 $ a_1 > 0 $，则数列递增；
- 若 $ 0 < q < 1 $ 且 $ a_1 > 0 $，则数列递减；
- 若 $ q < 0 $，数列呈现正负交替趋势。
四、应用举例
- 银行利息计算：复利计算中，本金按固定利率增长，符合等比数列规律。
- 人口增长模型：某些情况下，人口增长率可视为等比增长。
- 物理中的衰减现象：如放射性物质的衰减，可用等比数列表示。
五、总结
等比数列作为一种重要的数列形式，具有明确的结构和规律。掌握其基本公式和性质，有助于解决实际问题和进一步学习数列与级数相关内容。通过表格形式的整理，可以更直观地理解和记忆这些公式。
注：本文内容基于等比数列的基础知识编写，适用于高中数学或初等数学教学使用。
