【等比数列的求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的求和是数列学习中的一个重点内容，掌握其求和公式对解决实际问题具有重要意义。

等比数列的求和公式分为两种情况：有限项的求和和无限项的求和（当公比的绝对值小于1时）。下面将对这两种情况进行总结，并通过表格形式进行对比说明。

一、等比数列的基本概念

- 首项：a₁

- 公比：q（q ≠ 1）

- 项数：n

- 第n项：aₙ = a₁ × q^(n−1)

二、等比数列的求和公式

三、公式推导简要说明

等比数列的求和公式可以通过错位相减法来推导。设：

Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ⁻¹

两边同时乘以公比q：

qSₙ = a₁q + a₁q² + a₁q³ + … + a₁qⁿ

用原式减去新式：

Sₙ - qSₙ = a₁ - a₁qⁿ

即：Sₙ(1 - q) = a₁(1 - qⁿ)

因此得：Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)

对于无限项的情况，当 q < 1 时，qⁿ 趋于0，所以 S = a₁/(1 - q)

四、典型例题解析

例1：求等比数列 2, 6, 18, 54 的前4项和。

解：a₁=2，q=3，n=4

S₄ = 2×(3⁴ - 1)/(3 - 1) = 2×(81 - 1)/2 = 2×80/2 = 80

例2：求等比数列 1, 1/2, 1/4, 1/8, … 的和。

解：a₁=1，q=1/2，q < 1

S = 1/(1 - 1/2) = 1/(1/2) = 2

五、注意事项

- 公比 q ≠ 1，否则数列为常数列，求和公式不适用；

- 当公比 q > 1 时，使用 Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1) 更为方便；

- 对于无限项求和，必须满足 q < 1 才能收敛。

通过以上总结，可以清晰地了解等比数列的求和公式及其应用方法。掌握这些知识有助于提高数列相关问题的解题能力。