【等差数列和等比数列的公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。它们各自有独特的性质和计算公式，掌握这些公式有助于快速解决相关问题。
一、等差数列
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为“公差”，记作 $ d $。
1. 通项公式
等差数列的第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差。
2. 求和公式
等差数列前 $ n $ 项的和为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
或
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
二、等比数列
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为“公比”，记作 $ r $。
1. 通项公式
等比数列的第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。
2. 求和公式
等比数列前 $ n $ 项的和为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)
$$
如果 $
$$
S = \frac{a_1}{1 - r}
$$
三、总结对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 | ||
| 公差 | $ d $ | $ r $ | ||
| 第 $ n $ 项 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | ||
| 无穷项和（当 $ | r | < 1 $） | 不适用 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ |
通过以上内容可以看出，等差数列和等比数列虽然结构不同，但都有清晰的规律和公式，便于计算和应用。在实际问题中，根据数列的特点选择合适的公式，可以更高效地解决问题。
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