【等差等比数列的求和公式是什啥】在数学学习中，等差数列和等比数列是常见的数列类型，它们的求和公式是解决相关问题的基础。了解这些公式的推导过程和应用场景，有助于提高解题效率和理解能力。
一、等差数列的求和公式
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为定值的数列。这个定值称为“公差”，记作 $ d $。
等差数列的通项公式为：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数。
等差数列的求和公式为：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或者也可以写成：
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
说明：该公式适用于已知首项、末项或公差时求前 $ n $ 项的和。
二、等比数列的求和公式
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为定值的数列。这个定值称为“公比”，记作 $ r $。
等比数列的通项公式为：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数。
等比数列的求和公式为：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或者
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
说明：当 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，此时求和公式为：
$$ S_n = a_1 \cdot n $$
三、总结对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
| 公差 $ d $ | $ a_{n+1} - a_n = d $ | $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 当 $ r = 1 $ 时，不适用 | 当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $ |
通过掌握等差数列和等比数列的求和公式，可以快速解决实际问题，如计算工资增长、利息计算、几何图形面积变化等。在学习过程中，建议多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。
