【等比数列的求和公式是什么】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的求和公式是解决这类数列问题的重要工具。本文将总结等比数列的求和公式，并通过表格形式清晰展示不同情况下的应用方式。

一、等比数列的基本概念

- 定义：一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的比值是一个常数（记作 $ q $），则称这个数列为等比数列。

- 通项公式：若首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则第 $ n $ 项为：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

二、等比数列的求和公式

等比数列的求和公式根据项数是否有限分为两种情况：

1. 有限项的等比数列求和

对于前 $ n $ 项的等比数列，其和 $ S_n $ 的公式如下：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)

$$

- 当 $ q = 1 $ 时，所有项都相等，即 $ S_n = a_1 \cdot n $

2. 无限等比数列求和（当 $ q < 1 $ 时）

当公比的绝对值小于1时，随着项数趋于无穷，数列的和趋于一个有限值，此时求和公式为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - q}

$$

三、不同情况下的求和公式总结表

四、示例说明

例1：求等比数列 $ 3, 6, 12, 24, 48 $ 的前5项和。

- 首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $

- 使用公式：

$$

S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 3 \cdot 31 = 93

$$

例2：求等比数列 $ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots $ 的无限和。

- 首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ q = \frac{1}{2} $

- 使用公式：

$$

S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

$$

五、总结

等比数列的求和公式是数学中非常实用的知识点，尤其在金融、物理、计算机等领域有广泛应用。掌握不同情况下的求和方法，有助于更高效地解决实际问题。通过表格对比可以更直观地理解公式的适用范围和使用条件。