【单纯形法计算步骤详解】单纯形法是线性规划中用于求解最优解的一种经典算法，广泛应用于资源分配、生产计划和成本控制等领域。本文将对单纯形法的计算步骤进行详细说明，并通过表格形式进行总结，便于理解和应用。
一、单纯形法简介
单纯形法是一种迭代算法，通过逐步调整基变量来寻找目标函数的最优值。其核心思想是在可行域的顶点上进行搜索，每次迭代都朝着目标函数值改善的方向移动，直到无法进一步改进为止。
二、单纯形法的基本步骤
1. 建立标准型线性规划问题
2. 引入松弛变量或人工变量
3. 构造初始单纯形表
4. 确定入基变量（选择最大正系数）
5. 确定出基变量（最小比值原则）
6. 进行行变换，更新单纯形表
7. 判断是否达到最优解
8. 若未达最优，重复步骤4-7
三、单纯形法计算步骤总结表
| 步骤 | 操作内容 | 说明 |
| 1 | 建立标准型 | 将原问题转化为标准形式：最大化或最小化目标函数，所有约束为等式，变量非负 |
| 2 | 引入松弛变量 | 对不等式约束添加松弛变量，使其变为等式 |
| 3 | 构造初始单纯形表 | 包括目标函数系数、约束方程系数及常数项 |
| 4 | 确定入基变量 | 在目标函数行中选择最大的正系数对应的变量作为入基变量 |
| 5 | 确定出基变量 | 对于每个正系数列，计算对应行的常数项与该列系数的比值，选择最小的比值对应的变量作为出基变量 |
| 6 | 行变换 | 用初等行变换将入基变量所在列变为单位向量，更新整个单纯形表 |
| 7 | 判断最优性 | 若目标函数行中所有系数均为非正（对于最大化问题），则已获得最优解 |
| 8 | 重复迭代 | 若未达到最优，则返回步骤4继续迭代 |
四、示例说明（简化版）
假设目标函数为：
max Z = 3x₁ + 5x₂
约束条件为：
x₁ ≤ 4
2x₂ ≤ 12
x₁ + x₂ ≤ 5
x₁, x₂ ≥ 0
将其转换为标准型后，引入松弛变量 x₃, x₄, x₅：
max Z = 3x₁ + 5x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅
s.t.
x₁ + x₃ = 4
2x₂ + x₄ = 12
x₁ + x₂ + x₅ = 5
构建初始单纯形表如下：
| 基变量 | x₁ | x₂ | x₃ | x₄ | x₅ | RHS |
| x₃ | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 4 |
| x₄ | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 12 |
| x₅ | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 5 |
| Z | -3 | -5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
根据步骤4，选择x₂作为入基变量；步骤5中计算比值，选择x₄作为出基变量。经过行变换后，进入下一轮迭代，直至Z行无正系数为止。
五、注意事项
- 单纯形法适用于线性规划问题，不能处理非线性或整数约束。
- 若出现无界解或退化解，需特殊处理。
- 实际应用中可借助软件工具（如Excel、MATLAB等）实现自动计算。
通过以上步骤和表格的总结，可以系统地掌握单纯形法的计算流程。在实际操作中，建议结合具体问题逐步演算，以加深理解并提高解题效率。
