【单纯形表法详细讲解】单纯形表法（Simplex Method）是解决线性规划问题的一种经典算法，广泛应用于生产计划、资源分配、成本控制等领域。该方法通过迭代逐步优化目标函数值，最终找到最优解。本文将对单纯形表法的原理和步骤进行详细讲解，并以表格形式辅助说明。

一、单纯形表法的基本思想

单纯形表法的核心在于通过构造一个增广矩阵（即单纯形表），在保持约束条件不变的前提下，逐步调整变量的取值，使目标函数达到最大或最小值。其基本步骤包括：

1. 建立初始单纯形表

2. 选择入基变量（进入基的变量）

3. 选择出基变量（离开基的变量）

4. 进行行变换，更新单纯形表

5. 判断是否达到最优解

6. 重复步骤2至5，直到得到最优解

二、单纯形表的结构与内容

单纯形表通常包含以下几部分：

其中：

- 基变量：当前处于基中的变量（如松弛变量或人工变量）

- Cj：目标函数中对应变量的系数

- x₁, x₂,..., xn：决策变量及其系数

- b：约束条件的右侧常数项

- Zj - Cj：检验数，用于判断是否继续迭代

三、单纯形表法的执行步骤（以最大化为例）

下面以一个简单的线性规划问题为例，展示单纯形表法的具体操作过程。

问题描述：

最大化：

$$ Z = 3x_1 + 5x_2 $$

约束条件：

$$ x_1 \leq 4 $$

$$ 2x_2 \leq 12 $$

$$ 3x_1 + 2x_2 \leq 18 $$

$$ x_1, x_2 \geq 0 $$

步骤1：引入松弛变量并建立初始单纯形表

将不等式转换为等式：

$$ x_1 + s_1 = 4 $$

$$ 2x_2 + s_2 = 12 $$

$$ 3x_1 + 2x_2 + s_3 = 18 $$

初始单纯形表如下：

步骤2：选择入基变量

根据 Cj - Zj 行，选择正值最大的变量作为入基变量。这里，x₂ 的 Cj-Zj = 5 是最大的，因此选择 x₂ 入基。

步骤3：选择出基变量

计算各约束行中 x₂ 的系数与 b 的比值：

- s₁ 行：4 / 0 → 不可选

- s₂ 行：12 / 2 = 6

- s₃ 行：18 / 2 = 9

选择最小的比值，即 s₂ 出基。

步骤4：进行行变换，更新单纯形表

用 x₂ 替换 s₂，进行行变换，使得 x₂ 在新表中为基变量，且其系数列为单位向量。

更新后的单纯形表如下：

步骤5：判断是否最优

检查 Cj-Zj 行是否有正数。当前只有 x₁ 的 Cj-Zj = 3 > 0，因此还需继续迭代。

步骤6：重复步骤2-5

再次选择入基变量（x₁），出基变量（s₃）：

更新后单纯形表如下：

此时，所有 Cj-Zj 均小于等于 0，说明已达到最优解。

四、最终结果

最优解为：

- $ x_1 = 4 $

- $ x_2 = 6 $

- 最大值 $ Z = 32 $

五、总结

通过以上步骤，可以系统地应用单纯形表法求解线性规划问题，实现资源的最优配置。