【常用定积分公式】在数学分析中，定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握一些常用的定积分公式，有助于快速求解相关问题，提高计算效率。以下是一些常见的定积分公式及其应用范围的总结。
一、基本函数的定积分
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果（从a到b） |
| $ \int_a^b dx $ | $ \int_a^b 1\,dx $ | $ b - a $ |
| $ \int_a^b x^n\,dx $ | $ n \neq -1 $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $ |
| $ \int_a^b e^x\,dx $ | — | $ e^b - e^a $ |
| $ \int_a^b \sin x\,dx $ | — | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ \int_a^b \cos x\,dx $ | — | $ \sin b - \sin a $ |
| $ \int_a^b \ln x\,dx $ | — | $ b\ln b - a\ln a - (b - a) $ |
二、三角函数的定积分
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果（从0到π或2π） |
| $ \int_0^{2\pi} \sin x\,dx $ | — | 0 |
| $ \int_0^{2\pi} \cos x\,dx $ | — | 0 |
| $ \int_0^{\pi} \sin x\,dx $ | — | 2 |
| $ \int_0^{\pi} \cos x\,dx $ | — | 0 |
| $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x\,dx $ | — | $ \frac{\pi}{4} $ |
| $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x\,dx $ | — | $ \frac{\pi}{4} $ |
三、有理函数的定积分
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果（若存在） | ||
| $ \int \frac{1}{x}\,dx $ | — | $ \ln | x | + C $ |
| $ \int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx $ | — | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x^2 - a^2}\,dx $ | — | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \int \frac{1}{ax + b}\,dx $ | — | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ |
四、特殊函数与对称性
| 函数类型 | 特点 | 积分性质 |
| 奇函数 | $ f(-x) = -f(x) $ | 在对称区间上的积分为0 |
| 偶函数 | $ f(-x) = f(x) $ | 在对称区间上积分等于两倍单侧积分 |
| 周期函数 | 具有周期性 | 在一个周期内的积分可推广至整个区间 |
五、广义积分（反常积分）
| 函数形式 | 积分区间 | 是否收敛 |
| $ \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx $ | p > 1 | 收敛 |
| $ \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx $ | p ≤ 1 | 发散 |
| $ \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx $ | p < 1 | 收敛 |
| $ \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx $ | p ≥ 1 | 发散 |
六、常见定积分的数值近似方法
虽然本文主要介绍解析解，但在实际应用中，当无法找到解析表达式时，可以使用数值方法进行估算，如：
- 梯形法则
- 辛普森法则
- 高斯积分法
这些方法适用于复杂或非解析函数的积分计算。
总结
定积分是数学分析中的基础工具，熟练掌握常用函数的积分公式，能够显著提升解题效率。同时，理解函数的奇偶性、周期性以及积分的收敛性，也有助于更深入地分析和应用定积分。对于实际问题，若遇到难以解析求解的情况，可考虑数值积分方法作为补充手段。
