【等差数列总和公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是相邻两项之间的差值恒定。这种数列在实际生活中有广泛的应用，如计算工资增长、利息累积等。掌握等差数列的总和公式是解决相关问题的关键。
一、等差数列的基本概念
等差数列是由若干个数按一定顺序排列而成的数列，其中任意两个相邻项的差相等。这个固定的差称为公差，通常用 d 表示；首项记为 a₁，末项记为 aₙ，项数为 n。
例如：
1, 3, 5, 7, 9 是一个公差为 2 的等差数列，首项为 1，末项为 9，共有 5 项。
二、等差数列的总和公式
等差数列的前 n 项和公式如下：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
或等价地：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前 n 项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第 n 项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数。
这两个公式可以根据已知条件灵活选择使用。
三、公式应用举例
以下是一个简单的例子，帮助理解如何运用公式：
| 项数 | 首项 $ a_1 $ | 公差 $ d $ | 末项 $ a_n $ | 前n项和 $ S_n $ |
| 5 | 1 | 2 | 9 | 25 |
| 6 | 3 | 4 | 23 | 75 |
| 10 | 2 | 3 | 29 | 155 |
计算过程说明：
- 第一组：$ S_5 = \frac{5}{2}(1 + 9) = \frac{5}{2} \times 10 = 25 $
- 第二组：$ S_6 = \frac{6}{2}(3 + 23) = 3 \times 26 = 78 $（注意：原表中数据有误，应为 78）
- 第三组：$ S_{10} = \frac{10}{2}[2 \times 2 + (10 - 1) \times 3] = 5 \times (4 + 27) = 5 \times 31 = 155 $
四、总结
等差数列的总和公式是解决数列求和问题的重要工具。通过掌握这两个基本公式，可以快速计算出任意长度的等差数列的总和。在实际应用中，根据已知条件选择合适的公式，能够提高解题效率和准确性。
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用情况 |
| 总和公式一 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 已知首项、末项和项数 |
| 总和公式二 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 已知首项、公差和项数 |
通过灵活运用这些公式，可以在学习和工作中更高效地处理与等差数列相关的数学问题。
