【等差数列an的公式】等差数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的差为一个常数。这个常数称为公差，通常用字母d表示。在等差数列中，我们可以根据已知条件推导出通项公式、求和公式等，便于计算和分析。
下面将对等差数列的基本公式进行总结，并以表格形式展示，帮助读者更清晰地理解相关概念。
一、等差数列的基本定义
设数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
a_{n} - a_{n-1} = d \quad (n \geq 2)
$$
其中，$ d $ 为常数，则称该数列为等差数列，$ d $ 为公差。
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 用于计算第n项的值 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 计算前n项的和 |
| 中间项公式（当n为奇数时） | $ a_k = \frac{a_1 + a_n}{2} $ | 当n为奇数时，中间项为首末项的平均值 |
| 等差数列性质 | 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $ | 数列中任意两项之和等于另一组对应项之和 |
三、应用示例
假设有一个等差数列，首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求：
1. 第5项：
$ a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 3 + 8 = 11 $
2. 前5项和：
$ S_5 = \frac{5}{2}(3 + 11) = \frac{5}{2} \times 14 = 35 $
3. 第6项：
$ a_6 = 3 + (6 - 1) \times 2 = 3 + 10 = 13 $
四、注意事项
- 在使用公式时，需确认是否为等差数列，否则公式不适用。
- 公差可以为正、负或零，分别表示数列递增、递减或恒定。
- 若已知某几项，可以通过公式反推出首项或公差。
通过以上内容，我们可以系统地掌握等差数列的相关公式及其应用方法。这些公式不仅有助于解题，也能加深对数列规律的理解。
