【等比数列常用公式是什么】等比数列是数学中一种重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。在实际应用中，等比数列广泛用于金融、物理、计算机科学等领域。为了更清晰地掌握等比数列的相关知识，以下是对等比数列常用公式的总结。
一、基本概念
- 首项（a）：数列的第一个数。
- 公比（r）：后一项与前一项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。
- 第 n 项（aₙ）：数列中的第 n 个元素。
- 前 n 项和（Sₙ）：数列前 n 项的总和。
二、常用公式汇总
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第 n 项公式 | $ a_n = a \cdot r^{n-1} $ | 用于计算数列中第 n 项的值 | ||
| 前 n 项和公式（r ≠ 1） | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 计算前 n 项的总和 | ||
| 前 n 项和公式（r = 1） | $ S_n = a \cdot n $ | 当公比为 1 时，所有项相等，直接乘以项数 | ||
| 无穷等比数列和（ | r | < 1） | $ S = \frac{a}{1 - r} $ | 当公比绝对值小于 1 时，数列收敛于一个有限值 |
三、示例说明
假设有一个等比数列，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，则：
- 第 5 项：$ a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 162 $
- 前 4 项和：$ S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-80}{-2} = 80 $
四、注意事项
- 若公比 $ r = 1 $，则数列为常数列，所有项都等于首项。
- 若公比 $
- 在实际问题中，需根据题目条件选择合适的公式进行计算。
通过以上内容，可以系统地了解等比数列的基本公式及其应用场景，帮助更好地理解和运用这一数学工具。
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