【等差等比数列前N项和公式是】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们的前n项和公式在数列求和问题中具有重要应用。掌握这两种公式的推导过程与使用方法，有助于快速解决实际问题。
一、等差数列前n项和公式
定义：
一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。这个常数称为公差，记作d。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$a_1$ 是首项，$n$ 是项数。
前n项和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或者
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
说明：
这两个公式本质相同，只是表达方式不同。前者适用于已知首项和末项时使用，后者适用于已知首项和公差时使用。
二、等比数列前n项和公式
定义：
一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。这个常数称为公比，记作r。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
其中，$a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
前n项和公式：
当 $r \neq 1$ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
特殊情况：
当 $r = 1$ 时，数列为常数列，即所有项都等于首项，此时
$$ S_n = n \cdot a_1 $$
三、总结对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
| 公差（d） | $ d = a_{n+1} - a_n $ | 无公差，有公比 |
| 公比（r） | 无公比 | $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） $ S_n = n \cdot a_1 $（当 $ r = 1 $） |
四、小结
等差数列和等比数列是数列学习中的基础内容，它们的前n项和公式是解决实际问题的重要工具。理解并熟练运用这些公式，能够帮助我们在数学、物理、经济等领域中更高效地进行计算和分析。同时，注意区分两者在结构和计算上的不同，避免混淆。
