【等比乘等差的前n项和】在数列的学习中，等比数列与等差数列是两种基本且重要的数列类型。当它们的乘积构成一个新的数列时，求其前n项和便成为一种常见的数学问题。本文将对“等比乘等差的前n项和”进行总结，并以表格形式展示关键公式与计算方法。
一、基本概念
- 等差数列：一个数列中，每一项与前一项的差为常数，称为公差（d）。
- 等比数列：一个数列中，每一项与前一项的比为常数，称为公比（q）。
- 等比乘等差的数列：即每一项为等差数列的第k项乘以等比数列的第k项，形成的新数列。
例如：设等差数列为 $ a_n = a + (n-1)d $，等比数列为 $ b_n = ar^{n-1} $，则乘积数列为 $ c_n = [a + (n-1)d] \cdot ar^{n-1} $。
二、前n项和的求法
对于数列 $ c_n = [a + (n-1)d] \cdot r^{n-1} $，其前n项和 $ S_n $ 可通过以下步骤求解：
1. 构造通项公式：
$$
c_n = [a + (n-1)d] \cdot r^{n-1}
$$
2. 使用错位相减法：
这是最常用的方法，适用于形如 $ S_n = \sum_{k=1}^n (A_k) \cdot r^{k-1} $ 的求和问题。
3. 推导公式：
经过代数运算后，可得前n项和公式为：
$$
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{d r (1 - (n+1)r^n + n r^{n+1})}{(1 - r)^2}
$$
其中 $ r \neq 1 $。
三、关键公式对比表
| 项目 | 公式说明 | 公式表达 |
| 等差数列第n项 | 首项a，公差d | $ a_n = a + (n-1)d $ |
| 等比数列第n项 | 首项a，公比r | $ b_n = a r^{n-1} $ |
| 等比乘等差的第n项 | 两者相乘 | $ c_n = [a + (n-1)d] \cdot a r^{n-1} $ |
| 前n项和（r ≠ 1） | 错位相减法推导 | $ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{d r (1 - (n+1)r^n + n r^{n+1})}{(1 - r)^2} $ |
四、举例说明
假设等差数列为：$ a_n = 2 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 1 $
等比数列为：$ b_n = 2 \cdot 3^{n-1} $
则乘积数列为：
$$
c_n = (3n - 1) \cdot 2 \cdot 3^{n-1}
$$
计算前3项和：
$$
S_3 = c_1 + c_2 + c_3 = (3\cdot1 -1)\cdot2\cdot3^0 + (3\cdot2 -1)\cdot2\cdot3^1 + (3\cdot3 -1)\cdot2\cdot3^2
$$
$$
= 2\cdot2\cdot1 + 5\cdot2\cdot3 + 8\cdot2\cdot9 = 4 + 30 + 144 = 178
$$
五、总结
“等比乘等差的前n项和”是一个典型的组合数列求和问题，其核心在于理解等差与等比数列的结构，并灵活运用错位相减法。掌握相关公式并结合实际例子练习，有助于提升对这类数列的理解和应用能力。
如需进一步探讨其他类型的数列求和问题，欢迎继续交流。
