【等比数列的公式】等比数列是数学中一种常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。在实际应用中，等比数列广泛用于金融计算、几何问题、科学计数等领域。掌握等比数列的相关公式，有助于我们快速分析和解决问题。
以下是对等比数列常用公式的总结：
一、基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $。
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个元素。
- 前n项和（Sₙ）：数列前n项的总和。
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 用于求任意一项的值 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 当 $ r \neq 1 $ 时适用 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 所有项都相等，直接相加即可 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 当 $ | r | < 1 $ 时成立 |
三、示例说明
假设有一个等比数列，首项为2，公比为3，求：
1. 第5项是多少？
2. 前5项的和是多少？
解：
1. 第5项：
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
2. 前5项和：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
四、注意事项
- 当公比 $ r > 1 $ 时，数列呈递增趋势；当 $ 0 < r < 1 $ 时，数列递减。
- 若 $ r = -1 $ 或 $ r < 0 $，数列会出现正负交替的情况。
- 无穷等比数列的和仅在 $
通过以上内容，我们可以系统地了解等比数列的核心公式及其应用场景，帮助我们在学习或工作中更高效地处理相关问题。
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