【高中平面向量的夹角公式】在高中数学中，平面向量的夹角公式是向量部分的重要知识点之一。它用于计算两个向量之间的夹角大小，广泛应用于几何、物理等领域。本文将对这一公式进行总结，并以表格形式展示相关知识点。

一、基础知识回顾

1. 向量的基本概念

向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示，也可用坐标表示。例如：向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，向量 $\vec{b} = (x_2, y_2)$。

2. 向量的模（长度）

向量 $\vec{a}$ 的模为 $\vec{a} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$。

3. 向量的点积（内积）

向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的点积为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2

$$

二、夹角公式推导与应用

设两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的夹角为 $\theta$，则夹角公式为：

$$

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a}\vec{b}}

$$

根据这个公式，可以求出两个向量之间的夹角。

三、公式应用步骤

四、典型例题解析

例题：

已知 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (1, 2)$，求两向量的夹角。

解：

1. 点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11$

2. 模长：

$\vec{a} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$\vec{b} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

3. 代入公式：

$$

\cos\theta = \frac{11}{5 \times \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}}

$$

4. 计算角度：

$\theta = \arccos\left(\frac{11}{5\sqrt{5}}\right) \approx 22.6^\circ$

五、常见误区与注意事项

六、总结表格

通过以上内容的学习和练习，可以更好地掌握平面向量的夹角公式及其实际应用。希望本文能帮助同学们提高对向量知识的理解与运用能力。