【点到平面的距离公式立体几何】在立体几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，常用于空间几何分析、工程计算和数学建模中。掌握点到平面的距离公式不仅有助于理解三维空间中的几何关系，还能为后续的向量运算和空间解析几何打下坚实基础。

一、点到平面距离的定义

设有一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 和一个平面 $ \pi $，其方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

则点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以通过以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；

- $ D $ 是平面方程中的常数项；

- 分母是法向量的模长，表示方向单位化后的长度。

二、公式推导思路简述

1. 法向量与点的投影：点到平面的距离实际上是点在法向量方向上的投影长度。

2. 点代入平面方程：将点坐标代入平面方程，得到该点到平面的“有符号”距离。

3. 取绝对值：由于距离为非负值，因此需要对结果取绝对值。

4. 归一化处理：除以法向量的模长，使结果具有实际几何意义。

三、关键知识点总结

四、注意事项

- 若已知平面的点法式方程（即知道一个点和法向量），也可以通过构造方程来求解。

- 当点位于平面上时，距离为0。

- 公式适用于所有类型的平面，包括水平面、垂直面和斜面。

五、示例计算

假设点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - y + z - 5 = 0 $，则点到平面的距离为：

$$

d = \frac{2(1) - 1(2) + 1(3) - 5}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{2 - 2 + 3 - 5}{\sqrt{6}} = \frac{-2}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

$$

六、总结

点到平面的距离公式是立体几何中的核心内容之一，它结合了向量、代数和几何知识，具有广泛的应用价值。理解并熟练运用该公式，能够帮助我们在三维空间中更准确地描述和计算几何关系。通过不断练习和应用，可以进一步加深对该公式的掌握与灵活运用能力。