【点到平面的距离公式】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题。掌握这一公式对于理解空间几何、解析几何以及工程和物理中的应用具有重要意义。本文将对“点到平面的距离公式”进行简要总结，并通过表格形式展示关键信息。

一、公式概述

点到平面的距离是指从该点向平面作垂线段的长度。设平面的一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到该平面的距离 $ d $ 的计算公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；

- $ D $ 是常数项；

- 分母是法向量的模长，用于归一化距离。

二、关键参数说明

三、使用步骤

1. 确定点的坐标：明确点 $ P(x_0, y_0, z_0) $。

2. 写出平面方程：已知或求得平面的一般方程 $ Ax + By + Cz + D = 0 $。

3. 代入公式：将点坐标和系数代入距离公式。

4. 计算结果：注意取绝对值并除以法向量的模长。

四、示例

假设点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $。

代入公式：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(3) - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 5}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{9}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。

五、注意事项

- 若点位于平面上，则距离为 0。

- 公式适用于任意位置的点和平面。

- 若平面方程未写成标准形式，需先整理为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $。

通过以上内容，我们可以清晰地了解点到平面的距离公式的原理、应用及计算方法。掌握这一公式有助于解决实际中的空间几何问题。