在数学中，求导是一个非常重要的概念，尤其是在微积分领域。当我们面对一个复合函数时，比如 \(\sin^3(x)\)，就需要使用链式法则来完成求导过程。

什么是 \(\sin^3(x)\)？

首先，我们需要明确 \(\sin^3(x)\) 并不是指 \(\sin(x) \times \sin(x) \times \sin(x)\)，而是表示 \((\sin(x))^3\)。换句话说，这是一个关于正弦函数的三次幂。

使用链式法则

为了求导，我们可以将 \(\sin^3(x)\) 看作是两个函数的复合：外层函数 \(u^3\) 和内层函数 \(u = \sin(x)\)。根据链式法则，导数为：

\[

\frac{d}{dx}[\sin^3(x)] = \frac{d}{du}[u^3] \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x)]

\]

计算导数

1. 外层函数 \(u^3\) 的导数是 \(3u^2\)。

2. 内层函数 \(\sin(x)\) 的导数是 \(\cos(x)\)。

因此，将两者结合得到：

\[

\frac{d}{dx}[\sin^3(x)] = 3(\sin(x))^2 \cdot \cos(x)

\]

最终结果

经过计算，我们得出：

\[

\frac{d}{dx}[\sin^3(x)] = 3\sin^2(x)\cos(x)

\]

这就是 \(\sin^3(x)\) 的导数。通过这种方式，我们可以清晰地理解如何利用链式法则来处理复杂的函数求导问题。