【代数余子式怎么算】在行列式的计算中，代数余子式是一个重要的概念。它不仅用于计算行列式的值，还在矩阵的逆、伴随矩阵等运算中有着广泛的应用。理解代数余子式的定义和计算方法，有助于更深入地掌握线性代数的知识。
一、什么是代数余子式？
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A = (a_{ij}) $，其元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式（Cofactor）记作 $ C_{ij} $，定义如下：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中：
- $ M_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的余子式，即去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 阶行列式的值。
- $ (-1)^{i+j} $ 是符号因子，决定代数余子式的正负号。
二、代数余子式的计算步骤
1. 确定位置：找到要计算的元素 $ a_{ij} $ 的行号 $ i $ 和列号 $ j $。
2. 构造余子式：去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列，得到一个 $ (n-1) \times (n-1) $ 的子矩阵。
3. 计算余子式：对这个子矩阵计算行列式，得到 $ M_{ij} $。
4. 乘以符号因子：根据 $ (-1)^{i+j} $ 确定正负号，得到最终的代数余子式 $ C_{ij} $。
三、举例说明
假设我们有一个 3×3 矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
我们来计算元素 $ a_{22} = 5 $ 的代数余子式 $ C_{22} $。
1. 去掉第 2 行和第 2 列，得到子矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
2. 计算余子式 $ M_{22} $：
$$
M_{22} = \begin{vmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9 \\
\end{vmatrix}
= (1 \cdot 9) - (3 \cdot 7) = 9 - 21 = -12
$$
3. 符号因子为 $ (-1)^{2+2} = 1 $，所以：
$$
C_{22} = 1 \cdot (-12) = -12
$$
四、总结表格
| 元素位置 | 余子式 $ M_{ij} $ | 符号因子 $ (-1)^{i+j} $ | 代数余子式 $ C_{ij} $ |
| $ a_{11} $ | $ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = -3 $ | $ (+1) $ | $ -3 $ |
| $ a_{12} $ | $ \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -6 $ | $ (-1) $ | $ 6 $ |
| $ a_{13} $ | $ \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = -3 $ | $ (+1) $ | $ -3 $ |
| $ a_{21} $ | $ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = -6 $ | $ (-1) $ | $ 6 $ |
| $ a_{22} $ | $ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -12 $ | $ (+1) $ | $ -12 $ |
| $ a_{23} $ | $ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = -6 $ | $ (-1) $ | $ 6 $ |
| $ a_{31} $ | $ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -3 $ | $ (+1) $ | $ -3 $ |
| $ a_{32} $ | $ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = -6 $ | $ (-1) $ | $ 6 $ |
| $ a_{33} $ | $ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = -3 $ | $ (+1) $ | $ -3 $ |
五、小结
代数余子式的计算是通过去除对应行和列后的子矩阵行列式再乘以符号因子来完成的。掌握这一过程有助于理解行列式的展开方式以及矩阵的其他相关运算。建议多做练习题来巩固这一知识点。
