【x sup2 e的x次方的积分】在微积分中，计算形如 $ x^2 e^x $ 的函数的积分是一个常见的问题。这种积分可以通过分部积分法来解决，通常需要多次应用该方法以简化表达式。以下是对这一积分过程的总结，并通过表格形式展示关键步骤和结果。
积分过程总结：
要计算 $ \int x^2 e^x \, dx $，我们可以使用分部积分法，公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们选择 $ u = x^2 $，则 $ du = 2x \, dx $；选择 $ dv = e^x \, dx $，则 $ v = e^x $。
第一次分部积分后得到：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx
$$
接下来对 $ \int 2x e^x \, dx $ 再次应用分部积分法：
设 $ u = 2x $，$ du = 2 \, dx $；$ dv = e^x \, dx $，$ v = e^x $
$$
\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2e^x + C
$$
将结果代入原式：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C
$$
最终答案可以整理为：
$$
\int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C
$$
关键步骤表格
| 步骤 | 积分表达式 | 选择项 | 计算结果 |
| 1 | $ \int x^2 e^x \, dx $ | $ u = x^2 $, $ dv = e^x dx $ | $ x^2 e^x - \int 2x e^x dx $ |
| 2 | $ \int 2x e^x \, dx $ | $ u = 2x $, $ dv = e^x dx $ | $ 2x e^x - \int 2 e^x dx $ |
| 3 | $ \int 2 e^x \, dx $ | — | $ 2e^x $ |
| 4 | 合并结果 | — | $ x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C $ |
结论：
通过对 $ x^2 e^x $ 进行两次分部积分，我们得到了其不定积分的结果为：
$$
\int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C
$$
这个结果在工程、物理以及数学分析中具有广泛应用，尤其是在求解微分方程或进行泰勒展开时。理解分部积分的过程有助于掌握更复杂的积分技巧。
