【ln sup2 x的原函数是什么】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一项基本但重要的任务。对于函数 $ \ln^2 x $，它的原函数并不是一个简单的表达式，需要通过分部积分法来求解。
一、总结
函数 $ \ln^2 x $ 的原函数可以通过分部积分法进行求解。其结果为：
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
以下是该函数及其原函数的简要对比和计算过程说明：
二、表格展示
| 函数名称 | 函数表达式 | 原函数表达式 | 积分方法 |
| 原函数 | $ \ln^2 x $ | $ x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C $ | 分部积分法 |
| 求导验证 | $ \frac{d}{dx} [x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x] $ | $ \ln^2 x $ | 反向推导验证 |
三、计算过程说明
1. 设 $ u = \ln^2 x $，$ dv = dx $
则 $ du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx $，$ v = x $
2. 应用分部积分公式：
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx
$$
3. 化简后得到：
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2 \int \ln x \, dx
$$
4. 再次使用分部积分法求 $ \int \ln x \, dx $：
设 $ u = \ln x $，$ dv = dx $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $，$ v = x $
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C
$$
5. 代入回原式：
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2(x \ln x - x) + C = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C
$$
四、小结
- $ \ln^2 x $ 的原函数是 $ x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C $
- 这个结果可以通过分部积分法逐步推导得出
- 通过反向求导可以验证其正确性
如果你正在学习微积分或需要处理类似的积分问题，掌握分部积分法是非常关键的一步。
