【狄利克雷函数的值域】狄利克雷函数（Dirichlet function）是数学分析中一个非常典型的例子，常用于说明函数的连续性、可积性等性质。该函数由德国数学家彼得·古斯塔夫·勒让德（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）提出，具有特殊的定义方式和结构。
一、狄利克雷函数的定义
狄利克雷函数通常定义如下：
$$
D(x) =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } x \in \mathbb{Q} \\
0, & \text{如果 } x \notin \mathbb{Q}
\end{cases}
$$
其中，$\mathbb{Q}$ 表示有理数集，$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 表示无理数集。
换句话说，当输入 $x$ 是有理数时，函数值为 1；当 $x$ 是无理数时，函数值为 0。
二、狄利克雷函数的值域
根据上述定义可以看出，狄利克雷函数的取值只有两个可能的值：0 和 1。因此，其值域可以明确表示为：
$$
\text{值域} = \{0, 1\}
$$
也就是说，无论输入的是有理数还是无理数，狄利克雷函数的输出只能是 0 或 1。
三、总结与表格展示
| 项目 | 内容说明 |
| 函数名称 | 狄利克雷函数 |
| 定义形式 | 分段函数，根据输入是否为有理数决定输出 |
| 输入集合 | 实数集 $\mathbb{R}$ |
| 输出集合 | $\{0, 1\}$ |
| 值域 | $\{0, 1\}$ |
| 特点 | 不连续、不可积、非单调 |
四、补充说明
虽然狄利克雷函数的值域非常简单，但它在数学分析中具有重要意义。它是一个经典的反例，用于说明一些数学概念的复杂性。例如，它在任何区间上都不连续，也无法用常规方法积分（如黎曼积分），但在勒贝格积分下可以被定义。
此外，由于其定义依赖于输入是否为有理数，而有理数在实数集中是稠密的，但无理数也同样是稠密的，因此狄利克雷函数在任何区间内都表现出“跳跃”行为，无法形成连续的图像。
综上所述，狄利克雷函数的值域是有限的，仅包含两个元素：0 和 1。这一特性使其成为研究函数性质的重要工具之一。
