【等差数列和等比数列的所有公式】在数学中，数列是一个重要的概念，尤其在高中阶段的数学学习中，等差数列和等比数列是基础且常见的内容。它们不仅在数学中有广泛应用，也在实际问题中经常出现。为了便于理解和记忆，以下是对等差数列和等比数列所有常用公式的总结。
一、等差数列
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差为同一个常数，这样的数列称为等差数列。这个常数叫做公差，记作 $ d $。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 为首项，$ d $ 为公差 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 表示前n项的和 |
| 中间项公式（当n为奇数时） | $ a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{a_1 + a_n}{2} $ | 等差数列的中间项等于首项与末项的平均值 |
二、等比数列
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比为同一个非零常数，这样的数列称为等比数列。这个常数叫做公比，记作 $ r $。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 表示前n项的和 | ||
| 无穷等比数列和（当 $ | r | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 当公比绝对值小于1时，无限项和收敛 |
| 中间项公式（当n为奇数时） | $ a_{\frac{n+1}{2}} = \sqrt{a_1 \cdot a_n} $ | 等比数列的中间项等于首项与末项的几何平均 |
三、对比总结
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 | ||
| 公差 | $ d $ | $ r $（非零） | ||
| 第n项 | $ a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 前n项和 | $ \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） | ||
| 无穷项和 | 不适用（除非为0） | $ \frac{a_1}{1 - r} $（$ | r | < 1 $） |
| 中间项 | $ \frac{a_1 + a_n}{2} $ | $ \sqrt{a_1 \cdot a_n} $ |
通过以上表格可以看出，等差数列和等比数列虽然结构不同，但都具有清晰的规律性，并且在实际问题中可以用来解决很多相关的计算问题。掌握这些公式，有助于提高解题效率，也为后续学习更复杂的数列（如调和数列、混合数列等）打下坚实的基础。
