【空间点到平面的距离公式】在三维几何中，计算一个点到平面的距离是一个常见的问题。掌握这一公式的推导过程和应用方法，有助于解决实际中的几何问题。本文将对“空间点到平面的距离公式”进行简要总结，并通过表格形式展示关键信息。

一、公式概述

设空间中有一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，以及一个平面 $ \pi $，其方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$ A, B, C $ 是平面的法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $ 的分量，$ D $ 是常数项。

点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

该公式来源于向量投影原理，即点在法向量方向上的投影长度。

二、公式推导思路（简要）

1. 确定平面法向量：从平面方程可直接得到法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $。

2. 构造向量：取平面上任意一点 $ Q(x_1, y_1, z_1) $，则向量 $ \vec{PQ} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1) $。

3. 求投影长度：点 $ P $ 到平面的距离是向量 $ \vec{PQ} $ 在法向量 $ \vec{n} $ 上的投影绝对值。

4. 利用点积与模长：通过点积公式得出距离表达式。

三、公式应用示例

四、注意事项

- 公式要求平面方程为标准形式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $，若给出的是其他形式，需先化为标准形式。

- 若点位于平面上，则距离为 0。

- 公式适用于任何非垂直于坐标轴的平面。

五、总结

通过上述内容，我们可以清晰地理解空间点到平面的距离公式的来源、使用方法及注意事项，为后续的几何学习和应用打下坚实基础。