【求不定积分(arctanx)平方的不定积分怎么算啊?IT】在数学中，不定积分是微积分的重要组成部分，尤其在处理反三角函数的高次幂时，常常需要使用分部积分法等技巧。今天我们就来探讨一下如何计算不定积分 ∫(arctanx)² dx。
一、思路总结
计算 ∫(arctanx)² dx 的关键在于分部积分法的应用。由于 arctanx 是一个反三角函数，其导数为 1/(1+x²)，因此我们可以将 (arctanx)² 视为一部分，而将其导数作为另一部分进行积分。
步骤如下：
1. 设 u = (arctanx)²，dv = dx
2. 求 du 和 v
3. 应用分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du
4. 继续对新的积分进行处理，可能需要再次使用分部积分或代换法
二、详细计算过程（简要）
| 步骤 | 过程说明 |
| 1 | 设 u = (arctanx)²，dv = dx |
| 2 | 则 du = 2(arctanx) (1/(1+x²)) dx，v = x |
| 3 | 分部积分得：∫(arctanx)² dx = x(arctanx)² - ∫x 2(arctanx)/(1+x²) dx |
| 4 | 新积分 ∫ [2x arctanx / (1+x²)] dx 可再次用分部积分法处理 |
| 5 | 最终结果包含 arctanx、x 和 ln(1+x²) 等项 |
三、最终答案（表达式）
经过上述推导和多次分部积分后，可以得到：
$$
\int (\arctan x)^2 \, dx = x(\arctan x)^2 - 2\left[x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2)\right] + C
$$
简化后为：
$$
\int (\arctan x)^2 \, dx = x(\arctan x)^2 - 2x \arctan x + \ln(1 + x^2) + C
$$
四、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 积分表达式 | ∫(arctanx)² dx |
| 方法 | 分部积分法（两次） |
| 结果表达式 | $ x(\arctan x)^2 - 2x \arctan x + \ln(1 + x^2) + C $ |
| 关键步骤 | 第一次分部积分后需再次分部积分处理新积分 |
| 注意事项 | 在计算过程中要注意变量替换和导数的正确性 |
如果你在学习微积分的过程中遇到类似的问题，建议多做练习，熟练掌握分部积分和反函数的导数，这将有助于解决更复杂的积分问题。
