在高等数学的学习过程中，不定积分是一个重要的知识点。今天我们就来探讨一下函数 $ \arctan x $ 的积分问题，并详细展示其求解过程。

首先，我们需要明确的是，$ \arctan x $ 是一个非常常见的反三角函数，它的定义域为全体实数，值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。为了求出 $ \int \arctan x \, dx $，我们可以采用分部积分法。分部积分法的基本公式是：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

在这里，我们选择：

- $ u = \arctan x $，那么 $ du = \frac{1}{1+x^2} \, dx $

- $ dv = dx $，那么 $ v = x $

根据分部积分公式，我们有：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx

$$

接下来，我们处理剩下的积分部分 $ \int \frac{x}{1+x^2} \, dx $。注意到分子 $ x $ 是分母 $ 1+x^2 $ 的导数，因此可以直接使用换元法。设 $ t = 1+x^2 $，则 $ dt = 2x \, dx $，即 $ \frac{dt}{2} = x \, dx $。代入后得到：

$$

\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C_1

$$

将 $ t $ 替换回原变量 $ x $，得到：

$$

\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_1

$$

因此，最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C

$$

其中，$ C $ 为积分常数。

通过以上步骤，我们完整地推导出了 $ \arctan x $ 的积分表达式。这种方法不仅适用于 $ \arctan x $，还可以推广到其他类似形式的函数积分问题中。希望这篇解析对大家有所帮助！