在数学学习中，完全平方公式是代数运算中的重要工具之一。它不仅能够帮助我们快速进行多项式的展开与简化，还能应用于各种实际问题的解决。本文将通过5道典型的完全平方公式计算题，带领大家熟悉这一公式的应用，并学会如何化简和求值。
一、题目解析
第一题：
已知 \(a = 3\)，\(b = 4\)，求 \((a + b)^2\) 的值。
解析：
根据完全平方公式 \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，我们可以直接代入数据：
\[
(a + b)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49
\]
因此，\((a + b)^2 = 49\)。
第二题：
已知 \(x = -2\)，\(y = 5\)，求 \((x - y)^2\) 的值。
解析：
同样利用完全平方公式 \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)：
\[
(x - y)^2 = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) \cdot 5 + 5^2 = 4 + 20 + 25 = 49
\]
因此，\((x - y)^2 = 49\)。
第三题：
化简表达式 \((m + n)^2 - (m - n)^2\)。
解析：
首先分别展开两个平方项：
\[
(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2, \quad (m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2
\]
然后相减：
\[
(m + n)^2 - (m - n)^2 = (m^2 + 2mn + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2)
\]
化简后得到：
\[
(m + n)^2 - (m - n)^2 = 4mn
\]
第四题：
已知 \(p = 1\)，\(q = 2\)，求 \((p + q)^2 - 2pq\) 的值。
解析：
先计算 \((p + q)^2\)：
\[
(p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9
\]
再计算 \(2pq\)：
\[
2pq = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4
\]
因此：
\[
(p + q)^2 - 2pq = 9 - 4 = 5
\]
第五题：
化简表达式 \(\frac{(x + y)^2 - (x - y)^2}{4xy}\)。
解析：
利用差平方公式 \((x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy\)，直接代入：
\[
\frac{(x + y)^2 - (x - y)^2}{4xy} = \frac{4xy}{4xy} = 1
\]
总结
通过以上5道练习题，我们对完全平方公式的运用有了更深入的理解。无论是直接代入求值还是化简表达式，掌握公式的本质及其变形形式都是关键。希望这些题目能帮助大家在解题时更加得心应手！
