【3x3矩阵怎么求伴随矩阵】在矩阵运算中，伴随矩阵是一个重要的概念，尤其在求逆矩阵时具有关键作用。对于一个3×3的矩阵，如何求它的伴随矩阵呢？下面将通过总结的方式，结合表格形式，清晰展示求解过程。
一、什么是伴随矩阵？
伴随矩阵（Adjoint Matrix）是指一个矩阵的每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置。记作 $ \text{adj}(A) $ 或 $ A^ $。如果一个矩阵 $ A $ 可逆，则其逆矩阵可以表示为：
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
$$
因此，掌握伴随矩阵的求法是理解矩阵逆的重要基础。
二、3x3矩阵求伴随矩阵的步骤
步骤1：计算每个元素的代数余子式
对于3×3矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $，每个元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式 $ C_{ij} $ 是去掉第i行和第j列后得到的2×2行列式的值，并乘以 $ (-1)^{i+j} $。
步骤2：构造余子式矩阵
将所有元素的代数余子式按原位置排列，形成一个3×3的余子式矩阵。
步骤3：转置余子式矩阵
将余子式矩阵进行转置，得到最终的伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $。
三、示例说明
假设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $
我们来求它的伴随矩阵：
1. 计算每个元素的代数余子式
| 元素 | 代数余子式 |
| $ C_{11} $ | $ +\begin{vmatrix}5 & 6 \\ 8 & 9\end{vmatrix} = 5×9 - 6×8 = 45 - 48 = -3 $ |
| $ C_{12} $ | $ -\begin{vmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9\end{vmatrix} = -(4×9 - 6×7) = -(36 - 42) = 6 $ |
| $ C_{13} $ | $ +\begin{vmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8\end{vmatrix} = 4×8 - 5×7 = 32 - 35 = -3 $ |
| $ C_{21} $ | $ -\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 8 & 9\end{vmatrix} = -(2×9 - 3×8) = -(18 - 24) = 6 $ |
| $ C_{22} $ | $ +\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 7 & 9\end{vmatrix} = 1×9 - 3×7 = 9 - 21 = -12 $ |
| $ C_{23} $ | $ -\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 7 & 8\end{vmatrix} = -(1×8 - 2×7) = -(8 - 14) = 6 $ |
| $ C_{31} $ | $ +\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 5 & 6\end{vmatrix} = 2×6 - 3×5 = 12 - 15 = -3 $ |
| $ C_{32} $ | $ -\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 4 & 6\end{vmatrix} = -(1×6 - 3×4) = -(6 - 12) = 6 $ |
| $ C_{33} $ | $ +\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 5\end{vmatrix} = 1×5 - 2×4 = 5 - 8 = -3 $ |
2. 构造余子式矩阵
$$
C = \begin{bmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
6 & -12 & 6 \\
-3 & 6 & -3
\end{bmatrix}
$$
3. 转置得到伴随矩阵
$$
\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
6 & -12 & 6 \\
-3 & 6 & -3
\end{bmatrix}
$$
四、总结表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 计算每个元素的代数余子式 $ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $ |
| 2 | 构造余子式矩阵 $ C $ |
| 3 | 对余子式矩阵进行转置，得到伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $ |
| 4 | 若矩阵可逆，可通过 $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $ 求逆矩阵 |
五、注意事项
- 伴随矩阵只适用于方阵；
- 如果矩阵的行列式为0，则该矩阵不可逆；
- 代数余子式的符号由位置决定，注意正负号；
- 实际应用中，建议使用计算器或软件辅助计算，避免手动计算错误。
通过以上步骤和表格总结，我们可以清晰地了解如何求3×3矩阵的伴随矩阵。掌握这一方法有助于进一步学习矩阵的逆、特征值等高级内容。
