【高数求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要基础内容之一，广泛应用于函数分析、极值求解、曲线研究等多个领域。掌握常见的求导公式对于理解函数的变化趋势和解决实际问题具有重要意义。以下是对常见高数求导公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数（f’(x)） |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、导数的运算法则
在对复杂函数进行求导时，常常需要使用导数的四则运算法则和复合函数求导法则。以下是常用的法则：
1. 四则运算法则
| 运算类型 | 公式 |
| 加法法则 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ |
| 减法法则 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘法法则 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 除法法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $（$ g(x) \neq 0 $） |
2. 链式法则（复合函数求导）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
| f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$ 三、隐函数与参数方程的导数 1. 隐函数求导 对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = y(x) $，可两边对 $ x $ 求导，利用链式法则求出 $ \frac{dy}{dx} $。 2. 参数方程求导 若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \text{（当 } \frac{dx}{dt} \neq 0 \text{）} $$ 四、高阶导数 高阶导数指的是对函数连续求导多次得到的结果。例如： - 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $ - 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $ 一般地，n阶导数记作 $ f^{(n)}(x) $。 五、小结 掌握高数中的求导公式和法则，是进一步学习微分方程、积分、极限等知识的基础。通过熟练运用这些公式，可以更高效地处理复杂的数学问题，并在物理、工程、经济学等领域中发挥重要作用。 附：常用导数公式速查表
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