【期望与方差公式】在概率论和统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要概念。期望反映了随机变量的平均值或长期趋势，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是关于期望与方差的常用公式总结。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为相应的概率。
1. 离散型随机变量的期望
设离散型随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则其期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据点围绕期望值的波动情况。
1. 方差的定义
对于任意随机变量 $ X $，其方差为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以用以下等价形式计算：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的期望与方差表
| 分布类型 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
期望与方差是概率统计中的基础工具，广泛应用于数据分析、金融建模、机器学习等领域。掌握它们的计算方法和实际意义，有助于更好地理解和分析随机现象。通过表格形式可以更直观地比较不同分布的特性，提高学习效率。
希望本文能帮助你系统理解期望与方差的相关知识，并在实际应用中灵活运用。
