【指数分布的分布函数公式】指数分布是概率论与数理统计中一种常见的连续型概率分布，常用于描述事件发生的时间间隔，例如设备故障时间、顾客到达时间等。它具有无记忆性，即未来的概率只与当前状态有关，而与过去的历史无关。
指数分布的概率密度函数（PDF）和分布函数（CDF）是其核心内容，本文将对它们进行总结，并以表格形式展示关键信息。
一、指数分布的基本定义
设随机变量 $ X $ 服从参数为 $ \lambda > 0 $ 的指数分布，记作 $ X \sim \text{Exp}(\lambda) $。其中，$ \lambda $ 是事件发生的平均速率，也称为率参数。
二、概率密度函数（PDF）
指数分布的概率密度函数为：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\
0, & x < 0
\end{cases}
$$
该函数描述了在某个时间点 $ x $ 处的概率密度，反映了事件发生的时间分布情况。
三、分布函数（CDF）
指数分布的分布函数（累积分布函数）为：
$$
F(x) =
\begin{cases}
1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\
0, & x < 0
\end{cases}
$$
该函数表示的是事件发生时间小于或等于 $ x $ 的概率，即：
$$
P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}
$$
四、关键性质总结
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 概率密度函数（PDF） | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | 描述事件发生的时间密度 |
| 分布函数（CDF） | $ F(x) = 1 - e^{-\lambda x} $ | 表示事件发生时间不超过 $ x $ 的概率 |
| 数学期望（均值） | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ | 平均发生时间 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} $ | 反映数据波动程度 |
| 无记忆性 | $ P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) $ | 未来概率与历史无关 |
五、应用举例
假设某快递公司的包裹到达时间服从指数分布，且平均到达速率为每小时3件（即 $ \lambda = 3 $），则：
- 在1小时内到达的概率为：
$$
P(X \leq 1) = 1 - e^{-3 \times 1} \approx 1 - e^{-3} \approx 0.9502
$$
- 在2小时内未到达的概率为：
$$
P(X > 2) = e^{-3 \times 2} = e^{-6} \approx 0.0025
$$
六、总结
指数分布是一种简单但非常实用的概率模型，尤其适用于描述“等待时间”类问题。其分布函数公式 $ F(x) = 1 - e^{-\lambda x} $ 是理解其概率行为的关键。通过掌握这一公式，可以更有效地分析实际问题中的时间间隔分布规律。
