在高等数学的学习过程中，求解函数的极限是一个重要的基础环节。极限的概念不仅是微积分的核心，也是理解连续性、导数和积分等概念的关键所在。因此，掌握有效的求极限方法对于学好高等数学至关重要。本文将介绍几种常用的求极限方法，并结合实例进行说明。

一、直接代入法

当函数在某一点处有定义且连续时，可以直接将该点的值代入函数表达式中计算极限。这种方法简单直观，适用于大多数基本初等函数。

例题：求 \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 7)\)。

解：由于多项式函数在整个实数范围内都连续，因此可以将 \(x = 2\) 直接代入得到：

\[

\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 7) = 3(2)^2 - 5(2) + 7 = 12 - 10 + 7 = 9

\]

二、因式分解法

对于分式形式的函数，如果分子与分母在某一点同时趋于零，则可以通过因式分解消去公共因子后再求极限。

例题：求 \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)。

解：注意到分子可以分解为 \((x - 1)(x + 1)\)，所以原式变为：

\[

\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}

\]

当 \(x \neq 1\) 时，\(x - 1\) 可以约去，剩下 \(x + 1\)。因此：

\[

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2

\]

三、有理化法

当遇到根号表达式导致分子或分母趋于零的情况时，通常采用有理化的方法来消除根号的影响。

例题：求 \(\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\)。

解：分子和分母都趋于零，因此可以对分子进行有理化处理：

\[

\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}

\]

当 \(x \neq 4\) 时，\(x - 4\) 可以约去，剩下 \(\frac{1}{\sqrt{x} + 2}\)。因此：

\[

\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}

\]

四、夹逼准则

对于一些复杂的极限问题，特别是涉及无穷小量或无穷大量时，可以利用夹逼准则来确定极限值。

例题：求 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)。

解：我们知道 \(e\) 的定义为 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\)。这里可以直接引用这一结论，但若需严格证明，则需要通过夹逼准则完成。

结论

以上介绍了四种常见的求极限方法，分别是直接代入法、因式分解法、有理化法以及夹逼准则。每种方法都有其适用范围和特点，在实际应用中应根据具体问题选择合适的方法。熟练掌握这些技巧不仅能提高解题效率，还能加深对高等数学理论的理解。希望读者能够通过练习巩固所学知识，逐步提升自己的数学素养。