【辅助角公式的推导过程】在三角函数的学习中，辅助角公式是一个重要的工具，常用于将形如 $ a\sin x + b\cos x $ 的表达式转化为单一的正弦或余弦函数形式。这种转化不仅有助于简化计算，还能帮助我们更直观地理解函数的周期性、振幅和相位变化。以下是辅助角公式的推导过程总结。
一、公式背景
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，表达式
$$
a\sin x + b\cos x
$$
可以表示为一个单一的三角函数形式：
$$
R\sin(x + \varphi) \quad \text{或} \quad R\cos(x - \varphi)
$$
其中 $ R = \sqrt{a^2 + b^2} $，$ \varphi $ 是辅助角，其大小由 $ a $ 和 $ b $ 决定。
二、推导过程
步骤1：设原式为 $ a\sin x + b\cos x $
我们希望将其写成：
$$
R\sin(x + \varphi)
$$
根据正弦的加法公式：
$$
\sin(x + \varphi) = \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi
$$
因此：
$$
R\sin(x + \varphi) = R\sin x \cos \varphi + R\cos x \sin \varphi
$$
与原式比较得：
$$
a = R\cos \varphi \\
b = R\sin \varphi
$$
步骤2：求 $ R $ 和 $ \varphi $
由上述两式可得：
$$
R^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow R = \sqrt{a^2 + b^2}
$$
$$
\tan \varphi = \frac{b}{a} \Rightarrow \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
$$
注意：当 $ a < 0 $ 时，需要调整 $ \varphi $ 所在的象限，以保证三角函数值正确。
三、总结对比
| 步骤 | 内容 | 公式 |
| 1 | 原始表达式 | $ a\sin x + b\cos x $ |
| 2 | 设定目标形式 | $ R\sin(x + \varphi) $ |
| 3 | 应用正弦加法公式 | $ R\sin x \cos \varphi + R\cos x \sin \varphi $ |
| 4 | 对比系数 | $ a = R\cos \varphi $, $ b = R\sin \varphi $ |
| 5 | 求解 $ R $ | $ R = \sqrt{a^2 + b^2} $ |
| 6 | 求解 $ \varphi $ | $ \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ |
四、应用示例
假设 $ a = 3 $，$ b = 4 $，则：
- $ R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $
- $ \varphi = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ $
因此，
$$
3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 53.13^\circ)
$$
五、注意事项
- 辅助角公式适用于所有实数 $ a $ 和 $ b $，但需注意 $ \varphi $ 的象限。
- 当 $ a = 0 $ 或 $ b = 0 $ 时，公式仍成立，但 $ \varphi $ 取特殊角度（如 $ 0^\circ $、$ 90^\circ $ 等）。
- 该公式也可推广至 $ a\cos x + b\sin x $ 的形式，只需适当调整符号和角度。
通过以上推导与总结，我们可以清晰地看到辅助角公式的来源及其实际应用价值。掌握这一公式有助于提升三角函数问题的解决效率与深度理解。
