在数学分析中，极限是一个非常重要的概念，它帮助我们理解函数在特定点附近的动态变化趋势。本文将深入探讨函数 \( f(x) = x \ln x \) 当 \( x \) 趋近于零时的极限行为。

首先，我们需要明确的是，当 \( x \to 0^+ \)（即从正数方向趋近于零）时，\( \ln x \) 的值会趋向负无穷大。因此，\( x \ln x \) 是一个 \( 0 \times (-\infty) \) 的不定式形式。为了更好地处理这种情况，我们可以利用洛必达法则来求解这个极限。

解题步骤：

1. 重写函数：

我们可以将 \( x \ln x \) 重写为 \( \frac{\ln x}{1/x} \)，这样就转化成了 \( \frac{-\infty}{\infty} \) 的形式，适合应用洛必达法则。

2. 应用洛必达法则：

对分子和分母分别求导：

\[

\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(1/x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}

\]

3. 简化表达式：

进一步化简得到：

\[

\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} -x = 0

\]

因此，当 \( x \) 趋近于零时，函数 \( x \ln x \) 的极限为零。

结论：

通过上述分析，我们得出结论：当 \( x \to 0^+ \) 时，函数 \( x \ln x \) 的极限为零。这一结果表明，尽管 \( \ln x \) 在接近零时迅速趋于负无穷大，但由于 \( x \) 的快速衰减，它们的乘积最终趋于零。

希望本文的分析能够帮助您更清晰地理解这一数学问题，并为您提供解决类似问题的方法和思路。