如何推导欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ 📐📚
发布时间：2025-03-06 02:18:14来源：
在数学领域，欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ被视为数学中最美丽的等式之一。它将复数、三角函数和自然对数的基础联系在一起。让我们来一起探索这个神奇的公式的推导过程吧！🔍
首先，我们从麦克劳林级数开始。麦克劳林级数是一种将函数展开为无穷级数的方法。我们可以将指数函数、正弦函数和余弦函数分别展开为麦克劳林级数：
- ex=1+x+x²/2!+x³/3!+...
- sin x=x-x³/3!+x⁵/5!-...
- cos x=1-x²/2!+x⁴/4!-...
接着，我们将ix代入ex的麦克劳林级数中，得到：
eiθ=1+(iθ)+(iθ)²/2!+(iθ)³/3!+(iθ)⁴/4!+(iθ)⁵/5!+...
通过化简，我们可以发现eiθ与cosθ和sinθ的关系：
eiθ=(1-θ²/2!+θ⁴/4!...)+i(θ-θ³/3!+θ⁵/5!...)
这正是cosθ和isinθ的麦克劳林级数。因此，我们可以得出结论：
eiθ=cosθ+isinθ 🎉
这个简单的推导过程揭示了欧拉公式的美妙之处，同时也展示了数学之美。希望你也能感受到数学的魅力，并享受探索的过程！🌈
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